国投瑞银理财笔记第170期 | 一道简单的数学题，很多投资者都会答错

第170期

# 控制波动 #

我们先从一道简单的投资数学题开始，请听题：

假设有两个投资组合，组合A：第一年赚了12%，第二年赔了11%；组合B：第一年涨了6%，第二年跌了5%。请问，两年下来，这两个组合的盈亏情况如何？

A.组合A和组合B都盈利；

B.组合A和组合B都亏损；

C.组合A盈利，组合B亏损；

D.组合A亏损，组合B盈利。

我猜，你可能在心里默算了一下：12% - 11% = 1%；6% - 5% = 1%。这两个组合的最终收益率看起来差不多，都是赚了1%嘛。随后你可能转念一想，这个算法太简单了，多半有陷阱，答案很可能不是都盈利，而是一赚一赔。组合A在第一年的盈利更高，难道是组合A盈利，组合B亏损？

然而，真相可能和你的直觉恰恰相反。如果我们拿出计算器，会得到一个惊人的结果。

我们假设初始本金都是100元：

组合A：100元 * (1 + 12%) * (1 - 11%) = 100 * 1.12 * 0.89 = 99.68元。最终亏损是-0.32%。

组合B：100元 * (1 + 6%) * (1 - 5%) = 100 * 1.06 * 0.95 = 100.70元。最终盈利是+0.70%。

你看，一个亏了，一个赚了！明明算术差值都是1%，结果却天差地别。这是为什么呢？

这里有个简单的解释术语是「基数陷阱」：组合A在第二年亏损11%时，计算的基础是已经增值到112元的大基数，所以亏损的绝对金额更大。

这样的解释当然是正确的，也是最常见的解释。但是，如果止步于此，我们就只是了解到投资中的一个反直觉的数学现象，并没有从中挖掘出值得我们深思的投资规律。

你看，如果盈亏比例组合从【+6%，-5%】扩大为【+12%，-11%】，就会让组合从盈利变成亏损，那么，我们是不是可以做出假设推导，当一盈一亏的差值固定时，波动幅度越大，亏损也会越大呢？

从直觉上，这个假设推导似乎是成立的，我们能不能证明这一点呢？来，就让我们尝试手动推导出一则投资公式吧。

我们把这个问题代数化。假设第一年收益率为x，第二年亏损率为y，那么两年后的总资产是 (1+x) * (1-y)。我们把这个式子展开：

(1+x) * (1-y) = 1 + x - y - xy = 1 + (x-y) - xy

这个公式就是揭开所有谜底的钥匙了，让我们来拆解它：

• 1：代表你的本金。

• (x-y)：代表你直觉里的「算术收益」。在前面的例子里，A和B组合的这一项都是1%，这是我们感觉它们差不多的原因。

• -xy：这才是真正的「隐形杀手」。在一盈一亏的情况下，由于x和y都是正数，这一项必然为负，它是由波动（x和y的乘积）共同决定的「波动性损耗」。

现在我们用这个公式重新审视两个组合：

• A组合：(0.12 - 0.11) - (0.12 * 0.11) = 0.01 - 0.0132 = -0.0032，也就是-0.32%。

• B组合：(0.06 - 0.05) - (0.06 * 0.05) = 0.01 - 0.0030 = +0.0070，也就是+0.70%。

公式不但精准地给出了答案，更重要的是，它揭示了一个深刻的规律：决定最终收益的，不仅有你看得见的「算术收益」，还有一个你看不见的「波动性损耗」。 

x和y的绝对值越大，波动越剧烈，-xy这一项的负面影响就越大，对你最终收益的侵蚀就越严重。

我们再看一个更极端的例子：

组合C：第一年爆赚50%（x=0.5），第二年回调49%（y=0.49）。

直觉上，50%-49%=1%，似乎也还行。但代入公式：

(0.5 - 0.49) - (0.5 * 0.49) = 0.01 - 0.245 = -0.235

结果是巨亏23.5%！剧烈的波动，让那个「隐形杀手」-xy变得异常强大，吞噬了所有的算术收益，还反过来咬了本金一大口。

你看，1 + (x-y) - xy，这个简单的公式，就像一面投资的「照妖镜」，让我们看清了收益的本质。它至少给了我们三个极其重要的投资启发：

• 波动本身就是一种成本。我们常常只关注收益率的数字，却忽略了获取这个收益的过程是否平稳。这个公式告诉我们，高波动性会系统性地“惩罚”长期回报。两个算术平均收益率相同的投资，波动更低的那个，笑到最后的概率更大。

• 控制回撤比追求高点更重要。公式中的-xy项提醒我们，一次大的亏损（一个大的y），会造成不成比例的巨大伤害。这背后是不对称的数学现实：亏损50%，需要上涨100%才能回本。我们的公式恰恰揭示了这种不对称性——当x和y的数值越大，波动损耗-xy会呈几何级数增长，极大地侵蚀回报。

• 慢即是快，稳健才是真正的力量。投资不是一场百米冲刺，而是一场马拉松。组合B那样看似平淡无奇、小步慢跑的选手，长期下来，往往能超越组合B那种大起大落、冲刺后力竭的选手。因为数学规律本身，就站在稳定这一边。

「1 + (x-y) - xy」下次当你再看到一个短期业绩斐然、但波动巨大的投资时，请在脑海里默念这个公式。它会提醒你，在诱人的(x-y)背后，还藏着一个虎视眈眈的-xy。真正的长期主义者，不是只盯着收益x有多高，而是时刻警惕着那个由波动决定的损耗项-xy有多深。

投资的长期竞赛，往往不是比谁的进攻更锐利，而是比谁的防守更坚固。